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最初は自作テープの厚さが適切ではないことが原因と思っていましたが、MusicBoxに添付されていた純正のテープでも滑るので MusicBox 本体側が原因のようです。
MusicBox を確認してみたらテープを送り出す上側のシャフト（下の写真の丸印部分）が若干上下にガタがあり、テープのサポート力が弱まっている状態でした。
添付されていた純正のテープの厚さの実測値は 0.35mm ですが 0.40mm の工作用紙等でテープの自作を試してみたのがシャフトのサポート部分の摩耗を早めた可能性もあります。
その２とその４で紹介した模造紙２枚重ね方式では厚さが 0.30mm なので MusicBox に悪影響はないはずです（でも薄い分純正のテープより滑り易い）
「厚めのテープを使用すると MusicBox が壊れる」とか「中国製の安価な MusicBox は使っているうちにテープが滑るようになった」等のコメントがネットにもありました。
問題の原因が解ったのでシャフトのガタを抑え込むアタッチメントを ３Ｄプリンタで作成してみました（MusicBox のフレームに穴を開けてピアノ線を取り付ければ楽なのですが本体を加工したくない）
MusicBaox にはテープを上から抑え込む可動部分とそれにテンションを与えるためのピアノ線が付いているので、シャフト用アタッチメントの取付方法が悩ましいところです。MusicBox のフレームにある丸いくぼみを利用して固定するようにしました。
シャフトにテンションをかけるためには 0.8mm 程度のピアノ線がいいのですが、手持ちになかったので安全ピンを使いました。
結果としてテープの滑り問題は解消しました(^^)/。また、シャフト穴が楕円で上からテンションをかけているので、当初よりもテープの厚さに対する許容範囲が広がったのではないかと思います。 ^^
最後にテープの適切な厚さについてですが、純正テープのように 0.35mm で均一であることが理想ですが、テープを繋ぎ合わせて自作する場合、連結部分でクランクの回転が重くなることが演奏時に問題になります。
ホールを開ける領域については MusicBox の構造上、オルゴールを鳴らすピンが引っかかればいいので 0.35mm よりも薄くでも良いようです。テープの両端の 4mm の部分に関してはスピンドルのローラとの接触部分なのでなるべく 0.35mm に近いようにして、かつ段差が無いようにする必要があります。
そこで画用紙２枚重ね（厚さ 0.30mm）で連結部分のホール領域はメンディングテープで連結し、テープ全体の両端 4mm の淵の部分には裏側にマスキングテープを張る（厚さ 0.35mm で段差ができない）のがいいのではないかと考えています。テープは淵の部分が傷み易いのでマスキングテープであれば容易に貼りなおせるというメリットもあります。
シャフトアタッチメントのＳＴＬファイルは ここ からダウンロード可能です（商用利用以外であれば自由に使用可能）
★2017/08/20 追記
上側のシャフトにアタッチメントを付けた状態で手持ちのミュージックテープ（英語では "paper strip" と言うようです）を演奏してみました。スリップ問題はかなり改善しましたが購入当初と比べると若干滑りが発生し易い状況でした。
考えてみると上側のシャフト受け部分と同様に下側のシャフト受け部分もすり減っているはずです。その証拠にシャフト受け部分に付けた潤滑剤は下側シャフトの方も黒く濁っています。
テープのスリップ問題を解決するための最善の方法は上下のシャフトが引っ張り合うようにすればいいということになります。
それならば３Dプリンタの出番はなく、下の写真のように安全ピンでシャフト用スプリングを作りました（右上のパーツが MusicBox 用に加工したスプリング）。
MusicBox に取付けた状態が下の写真です（当然逆側にも同じように付けました）
これでテープの滑り具合は購入当初と同様になりました（テープの厚さに対する許容範囲が広がり、状態は向上しているはず）
製品には最初からここにバネを付けておいて欲しいものです。
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